JEE Mathematics Application of Derivatives MCQs Set 07

Answer: (d) |m| ≤ 1

Explanation:
1. Differentiate: \( e^y\frac{dy}{dx}=2x \), so \( m=\frac{2x}{1+x^2} \).
2. Since \( 1+x^2\ge2|x| \) (AM-GM), \( |m|\le1 \), with equality at x = ±1.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. e
6. x
7. p
8. r
9. e
10. s
11. s
12. i
13. o
14. n
15.
16. 2
17. x
18. /
19. (
20. 1
21.
22. +
23.
24. x
25. ²
26. )
27.
28. n
29. e
30. v
31. e
32. r
33.
34. e
35. x
36. c
37. e
38. e
39. d
40. s
41.
42. 1
43.
44. i
45. n
46.
47. m
48. a
49. g
50. n
51. i
52. t
53. u
54. d
55. e
56. ,
57.
58. a
59. n
60. d
61.
62. e
63. q
64. u
65. a
66. l
67. s
68.
69. 1
70.
71. a
72. t
73.
74. x
75.
76. =
77.
78. 1
79. .

Answer: (b) 3

Explanation:
1. \( x^2-x=2 \) gives x = 2 or x = −1; the first quadrant point is (2, 2).
2. Slope \( =2x-1=3 \).

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. n
4. d
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. i
11. n
12. t
13. e
14. r
15. s
16. e
17. c
18. t
19. i
20. o
21. n
22.
23. p
24. o
25. i
26. n
27. t
28.
29. f
30. i
31. r
32. s
33. t
34. ,
35.
36. t
37. h
38. e
39. n
40.
41. d
42. i
43. f
44. f
45. e
46. r
47. e
48. n
49. t
50. i
51. a
52. t
53. e
54. .

Answer: (a) −1

Explanation:
1. Ordinate = abscissa: \( x=\sqrt{4-x^2} \) gives \( x=\sqrt2 \), \( y=\sqrt2 \).
2. Slope \( =\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=-1 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. p
6. o
7. i
8. n
9. t
10.
11. l
12. i
13. e
14. s
15.
16. o
17. n
18.
19. t
20. h
21. e
22.
23. c
24. i
25. r
26. c
27. l
28. e
29.
30. a
31. t
32.
33. 4
34. 5
35.
36. d
37. e
38. g
39. r
40. e
41. e
42. s
43. ,
44.
45. w
46. h
47. e
48. r
49. e
50.
51. t
52. h
53. e
54.
55. t
56. a
57. n
58. g
59. e
60. n
61. t
62.
63. s
64. l
65. o
66. p
67. e
68.
69. i
70. s
71.
72. −
73. 1
74. .

Answer: (d) −1

Explanation:
1. For \( -\pi\le x\le0 \), \( \cos^{-1}(\cos x)=-x \).
2. So the slope at \( x=-\frac\pi4 \) is −1.

Teacher's Note:
1. I
2. n
3. v
4. e
5. r
6. s
7. e
8.
9. c
10. o
11. s
12. i
13. n
14. e
15.
16. o
17. f
18.
19. c
20. o
21. s
22.
23. x
24.
25. r
26. e
27. t
28. u
29. r
30. n
31. s
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. a
38. n
39. g
40. l
41. e
42.
43. i
44. n
45.
46. [
47. 0
48. ,
49.
50. π
51. ]
52. ,
53.
54. w
55. h
56. i
57. c
58. h
59.
60. h
61. e
62. r
63. e
64.
65. e
66. q
67. u
68. a
69. l
70. s
71.
72. −
73. x
74. .

Answer: (d) 0

Explanation:
1. \( \frac{dy}{dt}=e^t(\cos t-\sin t) \) and \( \frac{dx}{dt}=e^t(\sin t+\cos t) \).
2. At t = π/4: dy/dt = 0 and dx/dt ≠ 0, so the slope is 0 and the inclination is 0.

Teacher's Note:
1. Z
2. e
3. r
4. o
5.
6. s
7. l
8. o
9. p
10. e
11.
12. m
13. e
14. a
15. n
16. s
17.
18. a
19.
20. h
21. o
22. r
23. i
24. z
25. o
26. n
27. t
28. a
29. l
30.
31. t
32. a
33. n
34. g
35. e
36. n
37. t
38. .
39.
40. T
41. h
42. e
43.
44. c
45. o
46. s
47. i
48. n
49. e
50.
51. a
52. n
53. d
54.
55. s
56. i
57. n
58. e
59.
60. t
61. e
62. r
63. m
64. s
65.
66. c
67. a
68. n
69. c
70. e
71. l
72.
73. a
74. t
75.
76. 4
77. 5
78.
79. d
80. e
81. g
82. r
83. e
84. e
85. s
86. .

Answer: (b) (1, 0)

Explanation:
1. Differentiate: \( 1+y'=e^{xy}(y+xy') \), so \( y'(1-xe^{xy})=ye^{xy}-1 \).
2. A vertical tangent needs the coefficient of y′ to vanish: \( xe^{xy}=1 \).
3. (1, 0) satisfies both this and the curve: 1 + 0 = 1 = e⁰.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. v
4. e
5. r
6. t
7. i
8. c
9. a
10. l
11.
12. t
13. a
14. n
15. g
16. e
17. n
18. t
19.
20. o
21. c
22. c
23. u
24. r
25. s
26.
27. w
28. h
29. e
30. r
31. e
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. d
38. e
39. n
40. o
41. m
42. i
43. n
44. a
45. t
46. o
47. r
48.
49. o
50. f
51.
52. d
53. y
54. /
55. d
56. x
57.
58. i
59. s
60.
61. z
62. e
63. r
64. o
65. .
66.
67. C
68. h
69. e
70. c
71. k
72.
73. t
74. h
75. e
76.
77. p
78. o
79. i
80. n
81. t
82.
83. l
84. i
85. e
86. s
87.
88. o
89. n
90.
91. t
92. h
93. e
94.
95. c
96. u
97. r
98. v
99. e
100. .

Answer: (c) \( \left(\frac18,\frac12\right) \)

Explanation:
1. Slope of PQ \( =\frac{2-(-1)}{2-\frac12}=2 \).
2. Tangent slope \( \frac{dy}{dx}=\frac1y=2 \), so \( y=\frac12 \) and \( x=\frac{y^2}{2}=\frac18 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. i
4. s
5.
6. i
7. s
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. m
14. e
15. a
16. n
17.
18. v
19. a
20. l
21. u
22. e
23.
24. t
25. h
26. e
27. o
28. r
29. e
30. m
31.
32. i
33. d
34. e
35. a
36. .
37.
38. E
39. q
40. u
41. a
42. t
43. e
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. t
50. a
51. n
52. g
53. e
54. n
55. t
56.
57. s
58. l
59. o
60. p
61. e
62.
63. w
64. i
65. t
66. h
67.
68. t
69. h
70. e
71.
72. c
73. h
74. o
75. r
76. d
77.
78. s
79. l
80. o
81. p
82. e
83. .

Answer: (b) 1

Explanation:
1. The curve lies in the first quadrant (x, y ≥ 0) and \( \frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac xy}\le0 \).
2. Equal inclination to the axes means slope −1 only (slope +1 is impossible), giving x = y.
3. So only one point, hence one tangent.

Teacher's Note:
1. S
2. l
3. o
4. p
5. e
6. s
7.
8. o
9. f
10.
11. t
12. h
13. i
14. s
15.
16. c
17. u
18. r
19. v
20. e
21.
22. a
23. r
24. e
25.
26. n
27. e
28. v
29. e
30. r
31.
32. p
33. o
34. s
35. i
36. t
37. i
38. v
39. e
40. ,
41.
42. s
43. o
44.
45. o
46. n
47. l
48. y
49.
50. t
51. h
52. e
53.
54. s
55. l
56. o
57. p
58. e
59.
60. −
61. 1
62.
63. c
64. a
65. s
66. e
67.
68. o
69. c
70. c
71. u
72. r
73. s
74. .

Answer: (a) (a⁴, a⁴)

Explanation:
1. Slope \( =-\sqrt{\frac yx}=-1 \) gives x = y.
2. Then \( 2\sqrt x=2a^2 \), so \( x=a^4 \) and the point is (a⁴, a⁴).

Teacher's Note:
1. S
2. e
3. t
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. l
11. o
12. p
13. e
14.
15. e
16. q
17. u
18. a
19. l
20.
21. t
22. o
23.
24. −
25. 1
26.
27. a
28. n
29. d
30.
31. u
32. s
33. e
34.
35. x
36.
37. =
38.
39. y
40.
41. i
42. n
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. c
49. u
50. r
51. v
52. e
53.
54. e
55. q
56. u
57. a
58. t
59. i
60. o
61. n
62. .

Answer: (a) \( \frac\pi2 \)

Explanation:
1. For \( x^2=5-4y \): \( 2x=-4y' \), slope at (1, 1) is \( -\frac12 \).
2. For \( y=x^2 \): slope 2.
3. Product \( -\frac12\times2=-1 \), so the curves cut at right angles.

Teacher's Note:
1. P
2. e
3. r
4. p
5. e
6. n
7. d
8. i
9. c
10. u
11. l
12. a
13. r
14.
15. t
16. a
17. n
18. g
19. e
20. n
21. t
22. s
23.
24. h
25. a
26. v
27. e
28.
29. s
30. l
31. o
32. p
33. e
34. s
35.
36. w
37. i
38. t
39. h
40.
41. p
42. r
43. o
44. d
45. u
46. c
47. t
48.
49. −
50. 1
51. .

Answer: (b) \( \tan^{-1}\frac{6\sqrt2}{7} \)

Explanation:
1. At y = 1: \( x^2=16\cdot\frac89 \), so \( x=\pm\frac{8\sqrt2}{3} \).
2. Tangent slopes \( m=-\frac{9x}{16y}=\mp\frac{3\sqrt2}{2} \), so \( m^2=\frac92 \).
3. Angle between slopes m and −m: \( \tan\theta=\frac{2m}{1-m^2} \), magnitude \( \frac{3\sqrt2}{3.5}=\frac{6\sqrt2}{7} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. w
7. o
8.
9. t
10. a
11. n
12. g
13. e
14. n
15. t
16. s
17.
18. a
19. r
20. e
21.
22. m
23. i
24. r
25. r
26. o
27. r
28.
29. i
30. m
31. a
32. g
33. e
34. s
35. ,
36.
37. s
38. o
39.
40. t
41. h
42. e
43. i
44. r
45.
46. s
47. l
48. o
49. p
50. e
51. s
52.
53. a
54. r
55. e
56.
57. m
58.
59. a
60. n
61. d
62.
63. −
64. m
65. .

Answer: (a) \( -\frac1{\sqrt3} \)

Explanation:
1. \( f'(1)=\tan\frac\pi6=\frac1{\sqrt3},\ f'(2)=\sqrt3,\ f'(3)=1 \).
2. First integral \( =\left[\frac{f'(x)^2}{2}\right]_2^3=\frac{1-3}{2}=-1 \).
3. Second integral \( =f'(3)-f'(1)=1-\frac1{\sqrt3} \).
4. Sum \( =-\frac1{\sqrt3} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. l
7. o
8. p
9. e
10.
11. o
12. f
13.
14. t
15. h
16. e
17.
18. t
19. a
20. n
21. g
22. e
23. n
24. t
25.
26. i
27. s
28.
29. f
30. ′
31. .
32.
33. T
34. h
35. e
36.
37. f
38. i
39. r
40. s
41. t
42.
43. i
44. n
45. t
46. e
47. g
48. r
49. a
50. l
51.
52. i
53. s
54.
55. a
56.
57. p
58. e
59. r
60. f
61. e
62. c
63. t
64.
65. d
66. e
67. r
68. i
69. v
70. a
71. t
72. i
73. v
74. e
75.
76. o
77. f
78.
79. f
80. ′
81. ²
82. /
83. 2
84. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. For x > 0, \( y=e^{-x} \) and \( y'=-e^{-x} \). At x = 1 the point is \( (1,e^{-1}) \) with slope \( -e^{-1} \).
2. Tangent: \( y-e^{-1}=-e^{-1}(x-1) \), i.e. x + ey = 2, which matches none of a, b, c.

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. m
4. o
5. v
6. e
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. m
13. o
14. d
15. u
16. l
17. u
18. s
19.
20. f
21. o
22. r
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. r
29. i
30. g
31. h
32. t
33.
34. h
35. a
36. l
37. f
38.
39. o
40. f
41.
42. t
43. h
44. e
45.
46. c
47. u
48. r
49. v
50. e
51.
52. b
53. e
54. f
55. o
56. r
57. e
58.
59. d
60. i
61. f
62. f
63. e
64. r
65. e
66. n
67. t
68. i
69. a
70. t
71. i
72. n
73. g
74. .

Answer: (a) \( \frac xa+\frac yb=1 \)

Explanation:
1. At x = 0, y = b. Slope \( y'=-\frac ba e^{-x/a}=-\frac ba \).
2. Tangent: \( y-b=-\frac ba x \), i.e. \( \frac xa+\frac yb=1 \).

Teacher's Note:
1. I
2. n
3. t
4. e
5. r
6. c
7. e
8. p
9. t
10.
11. f
12. o
13. r
14. m
15.
16. r
17. e
18. s
19. u
20. l
21. t
22. s
23.
24. d
25. i
26. r
27. e
28. c
29. t
30. l
31. y
32.
33. b
34. e
35. c
36. a
37. u
38. s
39. e
40.
41. t
42. h
43. e
44.
45. t
46. a
47. n
48. g
49. e
50. n
51. t
52.
53. c
54. r
55. o
56. s
57. s
58. e
59. s
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. y
66. -
67. a
68. x
69. i
70. s
71.
72. a
73. t
74.
75. b
76. .

Answer: (b) a

Explanation:
1. At the point \( (x_0,y_0) \) the tangent has intercepts \( OP=\sqrt{x_0}\sqrt a \) and \( OQ=\sqrt{y_0}\sqrt a \).
2. Sum \( =\sqrt a(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0})=\sqrt a\cdot\sqrt a=a \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. o
10. f
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. i
17. n
18. t
19. e
20. r
21. c
22. e
23. p
24. t
25. s
26.
27. i
28. s
29.
30. c
31. o
32. n
33. s
34. t
35. a
36. n
37. t
38.
39. f
40. o
41. r
42.
43. t
44. h
45. i
46. s
47.
48. c
49. u
50. r
51. v
52. e
53. .

Answer: (c) 4

Explanation:
1. The line is x + y = 3, i.e. y = 3 − x.
2. Tangency: \( (x+1)(3-x)=c \), i.e. \( x^2-2x+(c-3)=0 \) with zero discriminant: \( 4-4(c-3)=0 \), so c = 4.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. l
4. i
5. n
6. e
7.
8. t
9. o
10. u
11. c
12. h
13. e
14. s
15.
16. a
17.
18. c
19. u
20. r
21. v
22. e
23.
24. w
25. h
26. e
27. n
28.
29. t
30. h
31. e
32.
33. c
34. o
35. m
36. b
37. i
38. n
39. e
40. d
41.
42. e
43. q
44. u
45. a
46. t
47. i
48. o
49. n
50.
51. h
52. a
53. s
54.
55. a
56.
57. r
58. e
59. p
60. e
61. a
62. t
63. e
64. d
65.
66. r
67. o
68. o
69. t
70. .

Answer: (b) (a, b)

Explanation:
1. At (a, b) the curve gives \( 1+1=2 \) and the line gives \( 1+1=2 \).
2. The tangent to the curve at (a, b) is \( \frac{x}{a}+\frac yb=2 \) by differentiation, so the line touches it there.

Teacher's Note:
1. C
2. h
3. e
4. c
5. k
6.
7. t
8. h
9. a
10. t
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. c
17. o
18. m
19. m
20. o
21. n
22.
23. p
24. o
25. i
26. n
27. t
28.
29. l
30. i
31. e
32. s
33.
34. o
35. n
36.
37. b
38. o
39. t
40. h
41.
42. a
43. n
44. d
45.
46. t
47. h
48. a
49. t
50.
51. t
52. h
53. e
54.
55. s
56. l
57. o
58. p
59. e
60. s
61.
62. a
63. g
64. r
65. e
66. e
67. .

Answer: (a) 4

Explanation:
1. Using the previous result with \( \sqrt a=2 \), i.e. a = 4, the sum of intercepts is a = 4.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. o
10. f
11.
12. i
13. n
14. t
15. e
16. r
17. c
18. e
19. p
20. t
21. s
22.
23. o
24. f
25.
26. e
27. v
28. e
29. r
30. y
31.
32. t
33. a
34. n
35. g
36. e
37. n
38. t
39.
40. e
41. q
42. u
43. a
44. l
45. s
46.
47. a
48. .

Answer: (c) \( \frac12 \) unit²

Explanation:
1. Slope of tangent at x = 1 is 1, so the normal has slope −1: \( y=-(x-1) \).
2. It meets the axes at (1, 0) and (0, 1).
3. Area \( =\frac12\times1\times1=\frac12 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. n
6. o
7. r
8. m
9. a
10. l
11.
12. i
13. s
14.
15. p
16. e
17. r
18. p
19. e
20. n
21. d
22. i
23. c
24. u
25. l
26. a
27. r
28.
29. t
30. o
31.
32. t
33. h
34. e
35.
36. t
37. a
38. n
39. g
40. e
41. n
42. t
43. ,
44.
45. s
46. o
47.
48. i
49. t
50. s
51.
52. s
53. l
54. o
55. p
56. e
57.
58. i
59. s
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. n
66. e
67. g
68. a
69. t
70. i
71. v
72. e
73.
74. r
75. e
76. c
77. i
78. p
79. r
80. o
81. c
82. a
83. l
84. .

Answer: (a) \( \left(-\frac{22}{9},-\frac29\right) \)

Explanation:
1. Gradient at (2, 2) is (4x, 2y) = (8, 4), so the normal direction is (2, 1): \( (2+2t,\ 2+t) \).
2. Substitute: \( 2(2+2t)^2+(2+t)^2=12 \) gives \( 9t^2+20t=0 \), so \( t=-\frac{20}{9} \).
3. Point \( \left(-\frac{22}{9},-\frac29\right) \).

Teacher's Note:
1. P
2. a
3. r
4. a
5. m
6. e
7. t
8. r
9. i
10. s
11. e
12.
13. t
14. h
15. e
16.
17. n
18. o
19. r
20. m
21. a
22. l
23.
24. a
25. s
26.
27. a
28.
29. l
30. i
31. n
32. e
33.
34. a
35. n
36. d
37.
38. s
39. o
40. l
41. v
42. e
43.
44. f
45. o
46. r
47.
48. t
49. h
50. e
51.
52. s
53. e
54. c
55. o
56. n
57. d
58.
59. i
60. n
61. t
62. e
63. r
64. s
65. e
66. c
67. t
68. i
69. o
70. n
71. .